基于多重分形理论的电力市场风险价值评估

　　摘要：现有的有关电力市场与分形理论相结合方面的研究大多局限于实证分析，还没有上升到风险指标的构造与计算方法层次。在此背景下，首先利用多重分形消除趋势波动分析法对电价波动进行多重分形分析，验证电价波动的多重分形特性。然后，结合回归间隔法，提出了一种适于衡量多重分形分布电价波动所引起的电力市场风险价值的方法，并在此基础上建立了输电公司短期购电组合的风险优化模型。以国际上较为流行的单一购买者模式的电力市场为背景，针对作为单一购买者的输电公司，基于美国ＰＪＭ电力市场中的实时电价数据，分析了输电公司单位购售电收益因电价波动而产生的市场风险，并以典型日为例进行购电组合的风险优化。算例结果表明，所提出的方法不仅能更准确地描述电价波动，而且可以适应不同时期的电价波动特点并有效量化风险，为输电公司对购电组合进行风险优化提供了新的方法。

　　关键词：电力市场；风险管理；多重分形理论；回归间隔法；风险价值

　　０、引言

　　在电力市场环境下，不同类型的市场参与者都希望在市场中获得最大的经济收益，也都会面对不同的风险评估与管理问题。电力市场环境下有很多不确定性因素，如负荷波动、电价波动、电力设备故障等。在国际上较为流行的以输电公司作为单一购买者模式的电力市场中，输电公司面临的市场风险主要由负荷波动和电价波动引起。其中，分析电价波动引起的风险是输电公司在电力市场风险管理中最关心的问题，也是本文研究的核心内容。

　　对于电力市场环境下的风险评估与管理问题，国内外已经做了不少研究工作。对电力市场交易中的风险评估问题作了概述，介绍了适用于评估实际电力市场风险的方法，如风险价值（ｖａｌｕｅａｔ－ｒｉｓｋ，ＶａＲ）方法和条件风险价值（ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｖａｌｕｅ－ａｔ－ｒｉｓｋ，ＣＶａＲ）方法；在风险管理的框架下发展了电力投资组合优化模型；采用ＶａＲ历史模拟法评估电价波动引起的电力市场短期风险；构造了电力市场环境下发电公司的风险管理框架；讨论了电力市场不同阶段的风险规避问题。现有的针对电价风险的研究大多都基于电价波动服从正态分布的假设。然而，已有实证研究表明，假设电价服从正态分布是不尽合理的。针对此问题，也有学者做了研究工作，如考虑了正态分布的偏度，提出了基于偏度ＶａＲ法的购电组合优化策略。但从总体上讲，这个问题尚未得到很好的解决。

　　近年来，随着分形和多重分形理论在金融市场应用的日益广泛，基于分形和多重分形理论的风险分析为研究电力市场中电价波动给市场参与者带来的风险提供了新的思路。从分形的角度研究了购电组合风险，并基于分形分布的特征函数给出了分形ＶａＲ的量度方法；验证了电价波动具有多重分形特征，但没有给出基于多重分形分布评价电价波动风险的方法；利用多重分形谱的参数构造了新的风险量度指标，用于指导发电公司制定竞价策略。均是在多重分形谱的基础上构造风险指标，但与ＶａＲ等成熟的风险指标相比，所构造的指标并不具有明确的物理含义。因此，如何对具有多重分形特征的电价进行有效的风险评估，仍然是一个有待研究的重要问题。

　　在上述背景下，本文针对电价的多重分形特性，基于回归间隔法（ｒｅｔｕｒｎｉｎｔｅｒｖａｌａｐｐｒｏａｃｈ，ＲＩＡ）对电价进行分析，并给出了计算多重分形分布数据ＶａＲ的算法。之后，针对作为单一购买者的输电公司的总购电成本，构造了考虑多重分形分布电价的短期购电组合风险优化模型。最后，用实际电力市场中的电价数据对所提出的基于ＲＩＡ计算ＶａＲ的方法进行了验证，针对不同典型时期的电价波动情况对购电组合进行了风险优化，并基于算例结果与现有方法作了比较分析。

　　１、多重分形简介

　　１．１分形

　　法国数学家Ｂ．Ｂ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ于２０世纪７０年代提出了分形理论，用于研究事物的非整数维特征。一般而言，分形具有２个明显的特征：①自相似性，即重复放大分形的细部可以观察到与分形本身相似的结构，或称分形具有标度不变性；②缺乏平滑性，分形处处不连续，自然亦不可微分。数十年来的大量研究已经证明，分形理论是分析事物复杂性的有效手段。

　　１．２多重分形

　　在电力市场中，电价波动具有季节性特点。夏季和冬季由于用电负荷较高，市场电价普遍较高，甚至会出现尖峰。因此，电价序列在不同时间段内的特性具有较大差别，一般不能用单一的分形维数来刻画。给出了如下多重分形的严格数学定义。若连续时间过程｛Ｘ（ｔ）｝具有平稳增量，且对所有ｔ∈Ｔ，ｑ∈Ｑ均满足式（１），则称｛Ｘ（ｔ）｝为多重分形过程。Ｅ（｜Ｘ（ｔ）｜ｑ）＝ｄ（ｑ）ｔτ（ｑ）＋１ｔ∈Ｔ，ｑ∈Ｑ（１）式中：Ｅ（·）为取期望运算；ｔ为时间点；Ｔ和Ｑ为实轴上长度为正的区间，且０∈Ｔ，［０，１］?Ｑ；ｄ（ｑ）和τ（ｑ）为Ｑ上的函数，其中τ（ｑ）为多重分形过程的尺度函数，用于刻画不同尺度下的标度特性。如果τ（ｑ）为ｑ的线性函数，则此过程是单标度的，即单分形；如果τ（ｑ）为ｑ的非线性函数，则此过程是多标度的，即多重分形。

　　１．３多重分形谱的计算

　　多重分形的分形维数不是单一不变的，因此，多重分形的特性常用多重分形谱ｆ（α）来表征，α表示分形体某一区域的分形维数。估计ｆ（α）的方法主要有盒维数法、多重分形消除趋势波动分析（ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ－ｄｅｔｒｅｎｄｅｄｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ，ＭＦＤＦＡ）法、小波变换法等，本文采用ＭＦ－ＤＦＡ法计算电价数据的多重分形谱。

　　２、基于ＲＩＡ的ＶａＲ

　　２．１回归间隔

　　以时间序列｛ｙ（ｔ）｝（ｔ＝１，２，…，Ｎ）为例，回归间隔是指在给定阈值Ｖ的前提下，相邻２次序列值超过阈值Ｖ的时间间隔，即ｙ（ｔ１）＞Ｖ，ｙ（ｔ２）＞Ｖ，ｔ１＜ｔ２，且?ｔｓ∈［ｔ１，ｔ２］，ｙ（ｔｓ）≤Ｖ，则定义回归间隔ｒ＝ｔ２－ｔ１。序列ｙ（ｔ）在阈值Ｖ下的回归间隔序列。

　　２．２多重分形数据的ＲＩＡ分析

　　采用方法首先产生具有多重分形特性的数据，并利用ＲＩＡ对多重分形数据回归间隔的概率密度函数进行分析，通过采用双对数曲线进行拟合，可以导出回归间隔ｒ的概率密度服从如下线性关系：ｌｇ（ＲＶＰＶ（ｒ））＝ａ１ｌｇｒＲ（）Ｖ＋ａ２；式中：ＰＶ（ｒ）为回归间隔序列在阈值Ｖ作用下的概率密度函数；ａ１和ａ２为线性拟合系数。可得，回归间隔的概率密度函数ＰＶ（ｒ）以负指数形式递减，即ＰＶ（ｒ）～ｒＲ（）Ｖ－η（Ｖ）；式中：η（Ｖ）＞１，且η（Ｖ）为Ｖ的减函数。表示ＰＶ（ｒ）满足（ｒ／ＲＶ）－η（Ｖ）的规律。

　　２．３基于ＲＩＡ计算ＶａＲ的方法

　　由于短期电价波动比较剧烈，因此，用多重分形可以更好地分析电价波动特征。然而，多重分形结构不具有显式表达式和概率密度函数，因此，无法直接计算多重分形数据的ＶａＲ。这里采用ＲＩＡ计算ＶａＲ，其关键在于针对每个评估时段，求取超出阈值Ｖ的事件出现的概率。设｛ｙ（ｔ）｝具有多重分形特性，当前分析的时间点为ｔＥ，上一个超过阈值Ｖ的事件发生在ｔＬ时刻之前，则定义从ｔＥ开始下一个Δｔ时段内序列值超过Ｖ的概率为ＷＶ（ｔＬ，Δｔ），可计算得到。

　　利用ＲＩＡ对多重分形数据进行ＶａＲ计算的步骤如下。

　　步骤１：根据给定的ＶａＲ置信水平ｃ，得到ＲＶ＝１／（１－ｃ）；针对给定的序列｛ｙ（ｔ）｝进行ＲＩＡ分析，并根据ＲＶ与Ｖ的对应关系得到初始阈值Ｖ。

　　步骤２：设当前分析时刻为ｔＥ，根据初始阈值Ｖ，可以得到上一个超过Ｖ的事件发生的时刻ｔＡ，则ｔＬ＝ｔＥ－ｔＡ；可以计算在当前阈值下，从ｔＥ开始的Δｔ时段内出现超过Ｖ的事件的概率ＷＶ（ｔＬ，Δｔ）。

　　步骤３：给定ＶａＲ置信水平的允许误差为ξ，若｜ＷＶ（ｔＬ，Δｔ）－（１－ｃ）｜≤ξ，则可认为此时的阈值Ｖ即为在该置信水平下的ＶａＲ；若｜ＷＶ（ｔＬ，Δｔ）－（１－ｃ）｜＞ξ，则需要根据概率ＷＶ（ｔＬ，Δｔ）的大小修改阈值Ｖ，修改量为ΔＶ，并返回步骤２，直至｜ＷＶ（ｔＬ，Δｔ）－（１－ｃ）｜≤ξ或ＷＶ（ｔＬ，Δｔ）与１－ｃ的大小关系发生变化为止。

　　３、基于多重分形的短期购电组合风险分析

　　３．１购电组合利润模型

　　在采用单一购买者模式的电力市场中，输电公司／电网公司从发电公司购电，并向配电（零售）公司／负荷出售电能。假设输电公司可以从长期合约市场、日前市场、实时市场和跨省跨区交易市场购电，并统一向配电（零售）公司／用户售电。这里以输电公司制定次日的购电组合计划为例，分析相关的利润和风险。

　　设输电公司次日在长期合约市场、日前市场、实时市场和跨省跨区交易市场的购电比例／平均电价分别为Ｋｌｔ／Ｅｌｔ，Ｋｄａ／Ｅｄａ，Ｋｒｔ／Ｅｒｔ，Ｋｏｐ／Ｅｏｐ，且Ｋｌｔ＋Ｋｄａ＋Ｋｒｔ＋Ｋｏｐ＝１。输电公司对配电（零售）公司／负荷的平均售电价格为Ｅｓ，则可得到其在次日的单位购售电量所获得的利润Ｍ为：Ｍ＝Ｅｓ－（ＫｌｔＥｌｔ＋ＫｄａＥｄａ＋ＫｒｔＥｒｔ＋ＫｏｐＥｏｐ）；在长期合约市场中，输电公司与发电公司协商确定长期购电合同，购电价格或其确定方法一般在合同中给定，即可认为Ｅｌｔ为已知量；日前市场电价主要取决于次日的负荷预测和发电公司报价结果，日前市场一经清算，从每个发电公司购买的电量和相应的电价也就确定了，这样在次日系统运行时Ｅｄａ也为已知量；实时市场的清算电价受实时负荷波动和发电公司报价等因素影响，波动性一般较强，可以采用多重分形分布来模拟Ｅｒｔ的波动情况；跨省跨区交易市场的电价一般由相关的各方预先商定，在短时期内Ｅｏｐ为已知量。输电公司作为垄断环节，其售电价格受到政府相关机构监管，这样Ｅｓ为已知量。