机械优化设计理论方法研宄综述（上） 　　(2)

　　2.2线性规划法

　　线性规划法是根据数学极值原理求解目标函数和约束条件同为设计变量的线性优化问题，是机械优化设计的重要方法之一。主要方法有单纯形法和序列线性规划法。

　　单纯形法由美国斯坦福大学DnziS教授于1947年提出，是求解线性优化问题简便、直接、有效的方法。缺点是难以得到全局最优解，单纯形的构成、压缩因子、扩散因子、收敛条件、收敛系数都会影响优化结果[11]。因此，初始单纯形的各顶点应线性独立，新单纯形构成后应验算是否收敛，并检查是否满足精度要求。单纯形法以成熟而强健的算法理论统治线性规划达30多年。

　　序列线性规划法是在初始点处将目标函数及约束条件展开为Tal级数，只取线性项，将非线性规划转化为近似的线性规划进行近似求解,如果所得解不?

　　满足设计精度要求，则将原优化问题在该近似解处再次按Tyo级数展开，重新求解，如此反复，直至所求解满足设计精度要求为止。缺点是线性约束条件数目随迭代次数增加而增加，计算工作量将急剧加大。

　　2.3非线性规划法

　　实际工程的机械优化设计大都属于非线性规划，且非线性程度越来越高，完全简化成线性问题是不妥当的[12]。非线性规划从数学极值原理出发求解优化问题，可分为无约束直接法、无约束间接法、有约束直接法和有约束间接法。

　　2.3.1无约束直接法

　　无约束直接法利用迭代过程已有信息和再生信息进行试探和求优，不需要分析函数的导数和性质，与无约束间接法的区别是迭代过程产生搜索方向的方法不同，具体有坐标轮换法和鲍威尔法[3]。

　　坐标轮换法是最简单的直接优化方法之一，方法易懂，程序简单，无需求导，计算费用低。但可靠性差、效率低，当目标函数等值线具有脊线形态时可能失败。该方法适用于目标函数导数不存在或不易求得、维数较低（一般<5)的情况。

　　鲍威尔法由MJDPwel于1964年提出，并由他本人改进，属于共轭方向法。该方法直接利用函数值逐次构造共轭方向，并在改进的算法中增加了判断原方向组是否需要替换和哪个方向需要替换，保证了共轭方向的生成，具有二次收敛性，收敛速度快，可靠性好，但编程较复杂，适用于维数较高的优化问题，是直接搜索法中最为有效的算法之一。

　　2.3.2无约束间接法

　　无约束间接法是利用函数性态，通过微分或变分进行求优，主要有梯度法、牛顿法、共轭梯度法、变尺度法等。

　　梯度法的优点是概念清楚、方法简单、可靠较好、计算量小，函数值稳定下降，且对初始点要求不严格；缺点是要求目标函数必须具有一阶偏导数，并需计算，迭代点离最优点远时函数值下降快，越接近最优点收敛速度越慢[13]，且迭代次数与目标函数的性态关系较大，等值线所形成的椭圆族越扁迭代次数就越多。梯度法是导出其他更为实用、有效的优化方法的理论基础，适用于复杂函数的初始搜索，多用于精度要求不高的场合。

　　牛顿法对初始点要求不严格，具有二次收敛性，最优点附近的收敛速度极快，对于正定二次函数的寻优，迭代一次即可达到极小点；缺点是要求目标函数必须有一阶、二阶偏导数及海森矩阵非奇异且正定或负定，需要计算一阶、二阶偏导数及海森矩阵的逆有一阶、二阶偏导数，海森矩阵非奇异，维数不太高的场合共轭梯度法是Fleche和Reeve吁1964年提出的，仅需计算函数的一阶偏导数，编程容易，准备工作量比牛顿法小，收敛速度远超过梯度法，但有效性比DFP(变尺度）法差。共轭梯度法在第一个搜索方向取负梯度方向，而其余各步的搜索方向将负梯度偏转一个角度，即对负梯度进行修正，实质上是对最速下降法的改进，适用于维数较高（50维以上）、一阶偏导数易求的优化问题。

　　变尺度法由WCDaVdon于1959年提出，RFleche和MJDPwel吁1963年对之进行了改进，又称DFP法。DFP综合了梯度法和牛顿法的优点，对初始点要求不高不必计算二阶偏导数矩阵及其逆阵，收敛速度快、效果好；缺点是需计算一阶偏导数，且由于舍入误差和一维搜索的不精确等原因，数值稳定性仍不够理想，有时因计算误差引起变尺度矩阵奇异而导致计算失败。BroydnFlechrGOdsteiijSham(等于1970年提出了更具数值稳定性的BFGS变尺度法，适用于求解维数较高（10-50维）、具有一阶偏导数的无约束优化问题，被认为是目前最成功的变尺度法[17]。

　　2.3.3有约束直接法

　　有约束直接法的新迭代点必须在可行域内，且保证目标函数值的稳定下降，适用于仅含不等式约束的优化问题，具体有网络法、随机方向搜索法以及复合形法等。

　　网络法算法简单，对目标函数性态要求不高，可求得全域最优解，特别适用于变量维数不高10)、约束个数不太多（10-15)、离散变量的优化，但对连续变量应给出各变量的区间，计算量较大，也可求解无约束优化问题。

　　随机方向搜索法简单、方便，对目标函数性态无特殊要求，收敛较快，但计算精度不高，对严重非线性问题一般只能提供较近似的最优解，适用于中小型无约束或有约束优化问题。

　　复合形法[1]最早由MJBBx吁1966年提出，是单纯形法的发展和改进，避免了迭代过程中的退化现象，对目标函数和约束函数无特殊要求，不必计算目标函数的梯度和二阶导数矩阵，方法简单、实用可靠、应用较广，有一定的收敛精度，但收敛速度一般，不适于变量较多15)和有等式约束的优化，是求解非线性优化的有效方法之一，在优化设计中得到广泛应用。